[baekjoon] 11404번 플로이드 - 플로이드 워셜 알고리즘

출처

---

https://www.acmicpc.net/problem/11404

11404번: 플로이드

 

문제

---

n(2 ≤ n ≤ 100)개의 도시가 있다.

그리고 한 도시에서 출발하여 다른 도시에 도착하는 m(1 ≤ m ≤ 100,000)개의 버스가 있다.

각 버스는 한 번 사용할 때 필요한 비용이 있다.

모든 도시의 쌍 (A, B)에 대해 도시 A에서 B로 가는데 필요한 비용의 최솟값을 구하는 프로그램을 작성하시오.

 

 

입력

---

첫째 줄에 도시의 개수 n이 주어지고 둘째 줄에는 버스의 개수 m이 주어진다.

그리고 셋째 줄부터 m+2줄까지 다음과 같은 버스의 정보가 주어진다.

먼저 처음에는 그 버스의 출발 도시의 번호가 주어진다.

버스의 정보는 버스의 시작 도시 a, 도착 도시 b, 한 번 타는데 필요한 비용 c로 이루어져 있다.

시작 도시와 도착 도시가 같은 경우는 없다. 비용은 100,000보다 작거나 같은 자연수이다.

 

시작 도시와 도착 도시를 연결하는 노선은 하나가 아닐 수 있다.

 

 

출력

---

n개의 줄을 출력해야 한다. i번째 줄에 출력하는 j번째 숫자는 도시 i에서 j로 가는데 필요한 최소 비용이다.

만약, i에서 j로 갈 수 없는 경우에는 그 자리에 0을 출력한다.

 

 

접근

---

문제 이름부터 플로이드이기도 했고, 모든 정점 쌍에 대해 둘 사이의 최단 거리를 구하는 문제였기 때문에

플로이드 워셜 알고리즘으로 구현했다.

 

처음 플로이드 워셜 알고리즘을 구현하고 테스트 케이스에서 일부 정점 쌍의 값이 맞지 않는 문제가 생겼었는데

아래의 조건 때문이었다.

시작 도시와 도착 도시를 연결하는 노선은 하나가 아닐 수 있다.

 

위 조건에 의하면 시작 노드와 도착 노드를 연결하는 간선이 하나 이상일 수도 있기 때문에

입력을 받는 과정에서 기존의 거리값과 비교해 작은 값을 업데이트 하는 과정을 추가했고 문제를 풀 수 있었다.

 

 

플로이드 워셜 알고리즘

---

플로이드 워셜 알고리즘(Floyd Warshall Algorithm)

모든 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 경로를 구할 수 있는 알고리즘

음수 가중치가 없는 그래프에서 동작

 

구현

임의의 노드값을 a와 b, 노드의 수를 n이라 하면

1. a -> b로 가는 형태를 (a, b)로 표현하도록 이차원 리스트를 생성, INF값으로 초기화

2. 자기 자신에서 출발해 자기 자신으로 가는 모든 경우 - (a,a), (b,b) - 를 0으로 초기화

3. 간선에 대한 정보를 입력받으면서 테이블 갱신

4. a -> b로 가는 경우 중 다른 노드를 거쳐 가는 경우 n개를 모두 확인

▶ 경유점을 k라 할 때, (a, b) = min( (a,b), (a,k) + (k,b) )로 표현 가능. 일종의 점화식

 

시간복잡도

모든 노드(n)에서 다른 모든 노드(n)까지의 최단 경로를 경유점(n)까지 고려해서 계산하므로

시간복잡도는 O(n^3)

 

 

코드

---

# IDEA
# 문제 이름대로 플로이드 워셜 알고리즘으로 구현
# 한 가지 주의할 점은 두 노드를 연결하는 간선이 여러개일 수 있다는점
# 따라서, 간선 정보를 입력하며 테이블을 갱신할 때 기존값과 비교하는 작업 필요

import sys

input = sys.stdin.readline
n = int(input())
m = int(input())
INF = 1e9

# 모든 노드에서 모든 노드로까지의 최단경로를 구하기 위해
# 2차원 리스트로 구현, INF 값으로 초기화
graph = [[INF] * (n+1) for _ in range(n+1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 경우는 0으로 초기화
for i in range(1, n+1):
    for j in range(1, n+1):
        if i == j: 
            graph[i][j] = 0

# 간선 정보를 입력받으며 테이블 갱신
# 이 때, 기존값과 비교해 작은 값으로 입력
for _ in range(m):
    a,b,c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = min(c, graph[a][b])
    
# 플로이드 워셜 알고리즘 구현
for k in range(1, n+1):
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, n+1):
            graph[i][j] = min(graph[i][j], graph[i][k] + graph[k][j])

# 수행된 결과 출력
for i in range(1, n+1):
    for j in range(1, n+1):
            # 도달할 수 없는 경우, 0으로 출력
            if graph[i][j] == INF:
                print(0, end=" ")
            else:
                print(graph[i][j], end=" ") 
    print()