[baekjoon] 11657번 타임머신 - 벨만 포드 알고리즘

출처

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https://www.acmicpc.net/problem/11657

11657번: 타임머신

 

문제

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N개의 도시가 있다. 그리고 한 도시에서 출발하여 다른 도시에 도착하는 버스가 M개 있다.

각 버스는 A, B, C로 나타낼 수 있는데, A는 시작 도시, B는 도착 도시, C는 버스를 타고 이동하는데 걸리는 시간이다. 시간 C가 양수가 아닌 경우가 있다.  C = 0인 경우는 순간 이동을 하는 경우, C < 0인 경우는 타임머신으로 시간을 되돌아가는 경우이다. 1번 도시에서 출발해서 나머지 도시로 가는 가장 빠른 시간을 구하는 프로그램을 작성하시오.

 

 

입력

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첫째 줄에 도시의 개수 N (1 ≤ N ≤ 500), 버스 노선의 개수 M (1 ≤ M ≤ 6,000)이 주어진다.

둘째 줄부터 M개의 줄에는 버스 노선의 정보 A, B, C (1 ≤ A, B ≤ N, -10,000 ≤ C ≤ 10,000)가 주어진다. 

 

 

출력

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만약 1번 도시에서 출발해 어떤 도시로 가는 과정에서 시간을 무한히 오래 전으로 되돌릴 수 있다면 첫째 줄에 -1을 출력한다. 그렇지 않다면 N-1개 줄에 걸쳐 각 줄에 1번 도시에서 출발해 2번 도시, 3번 도시, ..., N번 도시로 가는 가장 빠른 시간을 순서대로 출력한다. 만약 해당 도시로 가는 경로가 없다면 대신 -1을 출력한다.

 

 

접근

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일반적인 최단거리 출력 문제라고 생각해 무지성으로 다익스트라 알고리즘을 사용하여 코드를 구현하였다.

결과는 실패...

간선이 양수가 아닌 음수가 될 수도 있기 때문에 일부 케이스에서 순환이 일어나면서 최소 힙으로 구현한 다익스트라 알고리즘이 끝도 없이 돌아가는 게 원인이 됐다. 이러한 문제를 다뤄본 적이 없었기 때문에 동빈나님의 영상을 참고했다. 

이 문제를 해결하기 위해서는 벨만 포드 최단거리 알고리즘에 대한 이해가 있어야 했다.

벨만 포드 최단 경로 알고리즘

 

 

벨만 포드 최단 경로 알고리즘

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벨만 포드 알고리즘(Bellman-Ford Algorithm)

매번 모든 간선을 확인하면서 특정 노드로부터 다른 노드까지의 최단 거리를 구할 수 있는 알고리즘

다익스트라보다는 오래 걸리지만 음수 간선 순환이 내부에 존재하더라도 이를 탐지할 수 있음

 

구현

노드의 수를 N, 간선의 수를 E라고 하면

1. 출발노드 설정

2. 최단거리 테이블 초기화

3 - (1) 전체 간선 E개를 하나씩 확인

     (2) 각 간선을 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산. 최단 거리 갱신

3번의 과정을 N-1번 반복하면 특정 노드로부터 다른 노드까지의 최단 거리를 구할 수 있음

 

※ 음수 간선 순환 여부를 확인하려면 N번 반복

▶ n번째에 최단 거리 테이블이 갱신되면 음수 간선 순환이 존재

 

시간복잡도

전체 간선 E개를 N번 확인하므로 시간복잡도는 O(E*N)

 

 

코드

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import sys
input = sys.stdin.readline
# 노드 개수 n, 간선 개수 m
n,m = map(int, input().split())
INF = 1e9

# 최단 거리 테이블을 INF로 초기화
distance = [INF] * (n+1)

graph = []
for _ in range(m):
    # a에서 b까지의 비용 c
    a,b,c = map(int, input().split())
    graph.append((a,b,c))

def bf(start):
    # 출발 지점의 최단거리를 0으로 갱신
    distance[start] = 0

    # 노드의 수만큼 과정 반복
    for i in range(n):
        # 모든 간선을 하나씩 확인
        for j in range(m):
            now = graph[j][0]
            next = graph[j][1]
            cost = graph[j][2]

            # 만약 현재 노드의 최단 거리가 INF가 아니고
            # 현재 노드를 지나 다음 노드로의 비용이 다음 노드에서의 최단 거리값보다 작다면 값을 갱신
            if distance[now] != INF and distance[next] > distance[now] + cost:
                distance[next] = distance[now] + cost

                # 음수 간선 순환 유무 확인
                # n라운드에도 값이 갱신된다면 음수 간선 순환이 존재
                if i == n -1:
                    return True
    return False

cycle = bf(1)

# 음수 간선 순환이 존재하면 -1
if cycle: print(-1)
else:
    for i in range(2, n+1):
        # 최단 거리 출력
        if distance[i] != INF: print(distance[i])
        # 1번 노드에서 해당 노드로 갈 수 있는 경우가 없으면 -1 출력
        else: print(-1)